¿Qué es el riesgo de una inversión y cómo medirlo?

El riesgo de una inversión es hermano siamés de la rentabilidad como comenté en el artículo de la rentabilidad. Si quieres saber qué es el riesgo de una inversión y cómo medirlo tanto para una activo como para una cartera, te animo a que leas este

artículo. Descárgate el Excel con los ejemplos (de este artículo y el de rentabilidad) para que saques el mejor provecho de la lectura, que de eso se trata.

¿Cómo calcular el riesgo de una inversión?

El riesgo de una inversión se calcula a través de la varianza del rendimiento del activo en el que si quiera invertir, que valora la dispersión de los rendimientos alrededor de su media, proporcionando la variabilidad que experimenta el precio del activo.

Volatilidad de un activo

Definamos primero la varianza que es el promedio del cuadrado de la dispersión, entre el rendimiento observado para cada período y el rendimiento promedio para todo el plazo T. No está expresada en la misma unidad de medida que el rendimiento, es valorada en términos de rendimiento al cuadrado.

Varianza de un activo

Para llegar a su unidad de medida original, es preciso obtener la raíz cuadrada. El resultado es la desviación estándar del rendimiento del activo o volatilidad del activo.

Ejemplo de riesgo de una inversión

En la imagen de abajo tenemos (de izquierda a derecha): fecha, cotización del fondo de inversión, rentabilidad diaria y rentabilidad diaria más 1.

Rentabilidad riesgo de un fondo de inversión

Volatilidad anualizada

La volatilidad anualizada, se obtiene multiplicando la volatilidad del período por la raíz del número de períodos que están contenidos en un año natural.

Volatilidad

Si hemos considerado que para el año natural tenemos aproximadamente 252 observaciones del rendimiento de un activo (cotizaciones).

Volatilidad anualizada

Añadimos dos columnas más a la tabla de Excel para hacer los cálculos. En la parte inferior derecha de la imagen puedes ver el resultado de la varianza y de la desviación estándar o volatilidad diaria y anualizada.

Varianza y volatilidad de un fondo de inversión.

Riesgo de una cartera

En una cartera compuesta por diferentes activos, es preciso conocer la varianza conjunta de los activos que la conforman. Se calcula por pares de activos y permite conocer si las variaciones experimentadas por cada uno de
los activos se producen en el mismo sentido, o en sentido contrario. Este proceso se conoce como covarianza.

Covarianza de los rendimientos

La covarianza se calcula como el promedio de las dispersiones de cada uno de los activos respecto a su media.

Covarianza de los rendimientos de una cartera

Una covarianza positiva indica que los rendimientos de ambos activos se mueven en la misma dirección. Si es negativa, supondrá que los rendimientos se mueven en sentido contrario.

Si tenemos dos activos A y B con rendimientos anuales (ver tabla de abajo):

Activo AActivo B
30%15%
12%13%
7%7%
6%1%
2%-4%

El rendimiento promedio para el activo A y el activo B son el 11,40% y el 6,40% respectivamente.

La media geométrica de los rendimientos es del 10,99% para A y 6,15% para B.

La volatilidad del activo A es del 9,83% y la del activo B es del 7,14%.

La covarianza en A y B es 0,57%.

(VER EJEMPLO 4 del ejemplos de Excel).

Correlación de una cartera

La correlación entre los rendimientos de los activos que forman la cartera, se obtiene a partir de la transformación de la covarianza.

La correlación positiva indica que el rendimiento entre dos activos se mueve en la misma dirección. Si es negativa indica que los rendimientos se mueven en sentido contrario.

Correlación de una cartera

El coeficiente de correlación toma valores de 1 a -1.

Si el coeficiente de correlación de la cartera tiene un valor cercano a cero, querrá decir que los rendimientos de los activos se comportan aleatoriamente.

Valores cercanos a 1 o -1, indicarán que los rendimientos están alineados alrededor de una línea recta, con pendiente positiva o negativa según el signo de la correlación. Mira la imagen siguiente, que seguro te quedará más claro.

Cómo calcular la correlación de una cartera

En el ejemplo que estamos analizando, la correlación entre los activos A y B es positiva (0,82). Es decir, cuando los rendimientos de uno suben/bajan, los del otro también.

(VER EJEMPLO 4 del Excel, filas 14 a 16).

Correlación de una cartera en Excel

Varianza y volatilidad de una cartera de dos activos

Sigamos usando el mismo ejemplo de una cartera de inversión de dos activos.

La varianza de una cartera c compuesta por dos activos viene dada por la siguiente expresión:

Varianza de una cartera

La varianza del rendimiento siempre es positiva; mientras que la covarianza puede asumir valores negativos.

La volatilidad de la cartera es la raíz de la varianza.

Si las ponderaciones que reciben los dos activos de la cartera son positivas; la varianza y volatilidad de la cartera serán más pequeñas, cuanto menor es la covarianza (y por tanto, la correlación) entre los rendimientos de los activos que la componen.

Si invertimos un 70% en el Activo A y un 30% en el Activo B, sabiendo que:

  • Rendimiento del activo A = 11,99%.
  • Rendimiento del activo B = 6,15%.
  • Volatilidad del activo A = 9,83%.
  • Volatilidad del activo B = 7,14%.
  • Covarianza entre los activos A y B = 0,00577

(VER EJEMPLO 4 del Excel, filas 17 a 19).

Varianza de una cartera de tres activos

La varianza de una cartera c compuesta por tres activos viene dada por la siguiente expresión:

Varianza de una cartera de tres activos

La primera parte de la ecuación es la suma de las varianzas individuales, multiplicadas por las ponderaciones de las respectivas participaciones en la cartera, al cuadrado.

En la segunda parte se suma, el doble producto de las ponderaciones de los activos (tomados de dos en dos) por su correspondiente covarianza.

La expresión general de la varianza de una cartera compuesta por N activos, es:

Varianza de una cartera de N activos

Teoría del portafolio de Markowitz:

La teoría de Markowitz se inició con los artículos publicados por el premio Nobel Harry Markowitz, al inicio de los años 50, del siglo 20. Los supuestos de la Teoría de cartera son:

  1. Los inversionistas prefieren tener más riqueza que tener menos. ¡Yo también e imagino que tú😎!
  2. Los inversionistas son adversos al riesgo. Para asumir un poco más de riesgo, ellos deben ser recompensados con un mayor rendimiento de la inversión.
  3. La rentabilidad de cada activo se distribuye según una Normal, al suponer que el riesgo individual de cada activo, se puede medir mediante su desviación estándar.
  4. El inversionista no tiene efecto alguno en la distribución de probabilidad de cada activo en concreto.

Inversión diversificada

El papel de la correlación entre los activos que componen una cartera (o de la covarianza) es fundamental para entender el principio del portafolio diversificado. Así como la influencia de cada uno de los activos en la varianza de la cartera. El planteamiento se explica con tres casos extremos en un mismo ejemplo:

  1. El activo A tiene un rendimiento esperado para el próximo año del 25% y una desviación estándar del 75%.
  2. El activo B tiene un rendimiento esperado para el próximo año del 20% y una desviación estándar del 50%.
  3. La cartera está compuesta por un 70% y un 30% de los activos A y B respectivamente.

El rendimiento esperado de la cartera es:

(VER EJEMPLO 5 del Excel).

Pesos en una cartera

El riesgo esperado de la cartera va a depender de la correlación entre los activos A y B.

Ejemplos de cartera diversificada

Veamos 3 ejemplos extremos:

1) La correlación entre los activos es perfecta y positiva (r = 1)

Correlación perfecta y positiva entre activos

2) La correlación entre los activos es nula (r = 0):

Correlación entre activos nula

3) La correlación entre los activos es perfecta y negativa (r = -1):

Correlación entre activos perfecta y negativa

Conclusión importante: la volatilidad de una cartera es menor cuando la correlación es perfecta y negativa. Como podrás entender, es muy importante medir correctamente el riesgo de una inversión porque será nuestro “umbral del dolor” cuando estemos operando con dinero real.


Conclusiones respecto de la diversificación de una cartera

  1. La varianza de la cartera (con ponderaciones positivas) será menor cuanto menor sea la covarianza o correlación entre los activos que la componen.
  2. Las ventajas de la diversificación se obtienen cuando se invierte en activos con una correlación baja o negativa entre ellos.
  3. En el caso extremo de que la correlación es -1, para unas proporciones determinadas, se obtiene la varianza mínima.
  4. Por tanto, el riesgo de la inversión (cartera) entendido como la variabilidad de los rendimientos, y medido con la varianza de los mismos, si bien no puede eliminarse, se puede reducir mediante la diversificación.
  5. Por otra parte, una adecuada combinación de activos nos permite obtener la cartera con el mínimo riesgo. Para ello, es preciso calcular las ponderaciones que minimizan el riesgo.

Ejemplo de ponderación de una cartera de dos activos

Para el caso de una cartera compuesta por dos activos, las ponderaciones se calculan:

Ponderación de una cartera de dos activos

El Activo A tiene un rendimiento esperado para el próximo año del 25% y una desviación estándar del 75%.

El Activo B tiene un rendimiento esperado para el próximo año del 20% y una desviación estándar del 50%.

La correlación entre ambos activos es 0,6.

La covarianza es 0,225.

(VER EJEMPLO 5 del Excel).

Ejemplo de una cartera de dos activos en Excel

Veamos ahora el riesgo de cartera, la proporciones que minimizan dicho riesgo y la varianza mínima posible para la cartera así como su volatilidad.

(VER EJEMPLO 5 del Excel)

Ejemplo de cartera ponderada en Excel

Hipótesis de normalidad

Distribución normal

Uno de los supuestos de la teoría de carteras de Markowitz es que los rendimientos se distribuyen según una distribución normal.

La distribución normal se representa por una media y una desviación estándar, y se representa por N(m,s).

La media de la distribución coincide con el rendimiento promedio de la cartera.

La desviación estándar coincide con la volatilidad de la cartera.

Hipótesis de normalidad de la teoría de carteras de Markowitz

Para obtener la probabilidad acumulada en la distribución normal, debe calcularse el estadístico Z como:

Fórmula de la distribución normal

El área comprendida bajo la curva, entre -∞ y z, se obtiene mediante la tabla de probabilidad de la distribución normal. También puede usarse la función de Excel =DISTR.NORM.ESTAND (Z).

Distribución normal en Excel para cálculos financieros.

Implicaciones de las hipótesis de normalidad

En la distribución de probabilidad que sigue una Normal, con un 68% de probabilidad, la rentabilidad de un activo de la cartera se encuentra en el intervalo:

Distribución de probabilidad de la nomal.

En las colas de la distribución se sitúan el 32% de los datos, repartido de forma simétrica en dos áreas distintas, cada una con un 16% de probabilidad.

La probabilidad de que el rendimiento del activo sea superior a la media más la volatilidad o inferior a la media menos la volatilidad, es del 16% en ambos casos.

Probabilidad del rendimiento de un activo.

En la distribución de probabilidad que sigue una Normal, con un 95% de probabilidad, la rentabilidad de un activo de la cartera se encuentra en el intervalo:

Probabilidad de una distribución normal.

En las colas de la distribución se sitúan el 5% de los datos, repartido de forma simétrica en dos áreas distintas, cada una con un 2,5% de probabilidad.

La probabilidad de que el rendimiento del activo sea superior a la media más la volatilidad o inferior a la media menos la volatilidad, es del 2,5% en ambos casos.

Probabilidad de que el rendimiento del activo sea superior a la media más la volatilidad

Ejemplo de la hipótesis de normalidad

Carlos López analiza los resultados que espera obtener de su cartera de valores, a partir de la información que le ha facilitado su bróker; observa que la rentabilidad esperada para el próximo ejercicio en de 9% y la volatilidad del 6%.

Carlos puede afirmar que:

  • Con un 68% de probabilidad, la rentabilidad de la cartera estará comprendida entre la media +/- la volatilidad (3% y 15%). El resto, un 32%, se reparte en las dos colas de la distribución normal. Existe un 16% de probabilidad de que el rendimiento de la cartera sea inferior al 3%.
  • Con un 95% de probabilidad, la rentabilidad de la cartera estará comprendida entre la media +/- dos veces la volatilidad (-3% y 21%). El 5% se reparte en las dos colas de la distribución normal. El rendimiento de la cartera tiene una probabilidad del 2,5% de superar el 21%.

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